Apa itu himpunan?
Pedagang menjajakan dagangannya dengan harga ditulis di secarik kertas yang berbeda-beda.
Dari kejauhan telah terlihat, misalnya dagangan buah duku, ada yang berharga Rp.30.000/kg,
ada yang Rp.25.000/kg, dan ada yang Rp.20.000/kg. Para pedagang tersebut melakukan
pengelompokan berdasarkan besar-kecilnya (ukuran) duku, yaitu duku besar (kualitas bagus),
duku sedang (kualitas sedang), dan duku kecil (kualitas kurang bagus).
Secara tidak kita sadari, sebenarnya pedagang tersebut telah menggunakan konsep himpunan.
Mereka membuat himpunan duku besar, himpunan duku sedang, dan himpunan duku kecil.
Sehingga, dapat didefinisikan bahwa, himpunan adalah sekumpulan atau sekelompok objek
yang memiliki ciri sama yang dinyatakan dengan jelas.
Bagaimana menyatakan suatu himpunan?
Tahukah kamu bahwa bahan baku masakan tersebut dari beras?
Namun, beras tersebut dapat dibuat dalam berbagai rasa, bentuk, dan tampilan.
Demikian pula, himpunan dapat disajikan dalam beberapa cara tanpa mengubah makna.
Demikian pula, himpunan dapat disajikan dalam beberapa cara tanpa mengubah makna.
Sebagai contoh, diberikan sebuah himpunan A yang berisi huruf vokal dalam alfabet. Dalam
kasus ini, himpunan A berisi huruf-huruf vokal, yaitu {a,i,u,e,o}. Akan tetapi, himpunan A juga
dapat dinyatakan sebagai berikut.
A = {a,i,u,e,o}
Hal ini, menunjukkan bahwa himpunan A tersebut sebuah himpunan yang memiliki lima
anggota, yaitu {a,i,u,e,o} yang merupakan sebuah kumpulan huruf vokal dalam alfabet.
Apa itu relasi?
Relasi adalah hubungan timbal balik yang terjalin antara dua himpunan atau lebih. Setiap
pasangan dalam relasi disebut sebagai pasangan terurut yang terdiri dari dua daerah, yaitu
domain (daerah asal) dan kodomain (daerah kawan). Sedangkan daerah hasil dari relasi
tersebut disebut dengan range. Misalnya, diberikan sebuah diagram venn sebagai berikut.
Terdapat himpunan A = {1,2,3} dan B = {a,b,c}, sehingga relasi dari kedua himpunan tersebut
adalah {(1,a), (2,b), (3,c)}. Setiap anggota himpunan A memiliki tepat satu pasangan dengan
himpunan B, hal ini menunjukkan bahwa himpunan A dan B memiliki hubungan dan disebut
sebagai relasi.
Dari gambar di atas bukan relasi. Anggota dari himpunan hasilnya adalah {(1, a), (1,b), (2,c),
(3,a)} termasuk ke dalam himpunan pasangan terurut. Namun, relasi ini tidak memenuhi salah
satu sifat yang harus dipenuh oleh relasi. Salah satu sifat tersebut adalah setiap anggota dari
himpunan domain harus memiliki paling banyak satu pasangan dalam relasi. Namun, dalam
contoh ini, anggota 1 memiliki dua pasangan yaitu (1,a) dan (1,b), sehingga contoh ini bukanlah
sebuah relasi.
Kenapa relasi penting?
Relasi berperan penting dalam berbagai cabang matematika dan ilmu lainnya, karena membantu kita memahami koneksi dan keterkaitan antara objek atau anggota himpunan. Relasi ini dapat dilihat sebagai cara untuk menggambarkan bagaimana setiap elemen di satu himpunan berhubungan dengan elemen di himpunan lainnya.
Bagaimana menyatakan suatu relasi?
Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengan diagram panah, himpunan pasangan berurutan, dan diagram Cartesius.
Perhatikan contoh di bawah ini!
| Alex | Matematika, IPA |
| Brian | IPA, IPS, Kesenian |
| Chris | Olahraga, Ketrampilan |
| Dean | Kesenian, Bahasa Inggris |
| Eric | Matematika, IPA, Ketrampilan |
Misalkan
A = {Alex, Brian, Chris, Dean, Eric},
B = {Matematika, IPA, IPS, Bahasa Inggris, Kesenian, Keterampilan, Olahraga}
“menyukai” adalah relasi yang menghubungkan himpunan A ke himpunan B.
Cara 1: Diagram Panah
Gambar dibawah ini menunjukkan relasi “menyukai” dari himpunan A ke
himpunan B. Arah
panah menunjukkan anggota-anggota himpunan A yang berelasi dengan anggota-anggota tertentu pada himpunan B.
Cara 2: Diagram Kartesius
Cara yang kedua untuk menyatakan relasi antara himpunan A dan B adalah menggunakan Diagram
Kartesius.
Anggota-anggota himpunan A berada pada sumbu mendatar dan anggota-anggota himpunan B berada pada sumbu tegak.
Setiap
pasangan anggota himpunan A yang berelasi dengan anggota himpunan B dinyatakan dengan titik atau noktah.
Gambar
dibawah ini menunjukkan diagram kartesius dari relasi “menyukai” dari data pada
tabel diatas.
Cara 3: Himpunan Pasangan Berurutan
Apabila data pada tabel dinyatakan dengan pasangan berurutan, maka dapat ditulis sebagai berikut.
Himpunan pasangan berurutan dari himpunan A ke himpunan B adalah
{(Alex, Matematika), (Alex, IPA), (Brian, IPA), (Brian, IPS), (Brian, Kesenian), (Chris,Keterampilan), (Chris, Olahraga), (Dean, Bahasa Inggris), (Dean, Kesenian), (Eric,Matematika), (Eric, IPA), (Eric, Keterampilan)}.
Uraian di atas menunjukkan macam-macam cara yang bisa digunakan untuk menyatakan relasi dari himpunan A ke himpunan B.